Question

如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S₁；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S₂；
①当2＜t≤4时，试探究S₂与之间的函数关系；
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S₂为△OAB的面积的？

Answer

（1）在解析式y=-x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；
（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；
（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．
【解析】
（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵MN∥AB，，
∴OM=ON=t，
∴S1=OM•ON=t2；
（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．
理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN==2，
直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，
易得AB=4，则×4h=4×4×，
解得h=2，
故t=2时，点P在l上，
2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．
F点的坐标满足，即F（t，4-t），
同理E（4-t，t），则PF=PE=|t-（4-t）|=2t-4，
所以S2=S△MPN-S△PEF=S△OMN-S△PEF，
=t2-PE•PF=t2-（2t-4）（2t-4）=-t2+8t-8；
②当0＜t≤2时，S2=t2，t2=，
解得t1=-＜0，t2=＞2，两个都不合题意，舍去；
当2＜t≤4时，S2=-t2+8t-8=，
解得t3=3，t4=，
综上得，当t=或t=3时，S2为△OAB的面积的．