Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为1，动点E、F分别在边AB、对角线BD上（点E与点A、B都不重合）且AE=DF
（1）设DF=x，CF²=y，求：y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求证：FC=FE；
（3）是否存在以线段AE、DF、CF的长为边的直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据已知得出FG=DG=x，GC=1-x，在Rt△FCG中，利用CF2=CG2+FG2得出即可；
（2）延长GF交AB于H，易证矩形AHGD，再利用SAS证明Rt△FCG≌Rt△EFH即可得出答案；
（3）分别讨论①若CF为斜边以及②若AE为斜边得出答案即可．
【解析】
（1）过F作FG⊥DC于G，
则∠FGD=∠FGC=90°  
∵正方形ABCD中，BD是对角线，
∴∠BDG=45°，
∵∠FGD=90°，DF=x，
∴FG=DG=x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴GC=1-x，
在Rt△FCG中，
CF2=CG2+FG2=（1-x）2+（x）2=x2-x+1，
∴y=x2-x+1（0＜x＜）；

（2）延长GF交AB于H，
∵∠A=∠ADG=∠DGH=90°，
∴矩形AHGD，
∴AH=DG=x，
∵AE=x，
∴HE=x，
∴GF=HE，
CG=FH，
∵∠CGF=∠FHE=90°，
∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），
∴FC=FE，

（3）∵AE=DF，
∴DF＜AE，
∴若存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形，则DF不可能为斜边，
①若CF为斜边，则x2+（x）2=x2-x+12x2+x-1=0，
x=，x=（负值舍去），
②若AE为斜边，则x2+x2-x+1=（x）2，解得：x=，
∵0＜x＜，
∴舍去
综上所述当x=时，存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形．