Question

已知，如图，抛物线y=ax²+bx-a的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，-4），直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）．

Answer

（1）根据顶点的横坐标求出b=0，然后把顶点坐标代入抛物线解析式计算即可求出a的值，从而得解；
（2）令y=0，求出点B的坐标，然后求出OB、OC的长度，因为两三角形的对应边没有明确，所以分①OB与BD边是对应边，②OB与PD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出PD的长度，再根据点P在第一象限写出坐标即可．
【解析】
（1）∵顶点C（0，-4），
∴-=0，
解得b=0，
把（0，-4）代入y=ax2+bx-a得，-a=-4，
解得a=4，
所以函数解析式为：y=4x2-4；

（2）令y=0，则4x2-4=0，
解得x1=-1，x2=1，
所以点B的坐标为（1，0），
又点C的坐标为（0，-4），
所以OB=1，OC=4，
∵直线x=m（m＞1）与x轴交于点D，
∴BD=m-1，
①OB与BD边是对应边时，=，
即=，
解得PD=4（m-1）=4m-4，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，4m-4），
②OB与PD边是对应边时，=，
即=，
解得PD=，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，），
综上所述，点P的坐标为（m，4m-4）或（m，）．