Question

已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y=ax²+bx+c过点A、D、C，其对称轴与直线AB交于点P，
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠POC的正切值；
（3）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标．

Answer

（1）先求出点A、B的坐标，再根据旋转的性质求出点C、D的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后求出点P的坐标，过点P作PQ⊥x轴，则PQ∥y轴，根据两直线平行，内错角相等可得∠OPQ=∠POC，然后利用点P的坐标，根据锐角的正切值的定义列式计算即可得解；
（3）根据点M在x轴上，且△ABM与△APD相似可知，点M一定在点A的右侧，然后求出AP、AB、AD的长度，因为对应边不明确，所以分①AP和AB是对应边，②AP和AM是对应边，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AM的长度，再根据点A的坐标求解即可．
【解析】
（1）当y=0时，x+1=0，解得x=-2，
当x=0时，y=1，
所以A（-2，0），B（0，1），
∵△AOB顺时针旋转90°得到△COD，
∴C（0，2），D（1，0），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A、D、C，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=-x2-x+2；

（2）根据（1），抛物线对称轴为x=-=-=-，
×（-）+1=，
∴点P的坐标为（-，），
过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ∥y轴，
∴∠POC=∠OPQ，
∵tan∠OPQ==，
∴tan∠POC=；

（3）∵点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，
∴点M必在点A的右侧，
AP==，
AB==，
AD=1-（-2）=1+2=3，
∵∠A=∠A，
∴①AP和AB是对应边时，
=，
即=，
解得AM=4，
设点M坐标为（x，0），
则x-（-2）=4，
解得x=2，
所以点M的坐标为（2，0），
②AP和AM是对应边时，
=，
即=，
解得AM=，
设点M坐标为（x，0），
则x-（-2）=，
解得x=-，
所以点M的坐标为（-，0），
综上所述，存在点M（2，0）或（-，0），使△ABM与△APD相似．