Question

梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=α（0°＜α＜90°），AB=DC=3，BC=5．点P为射线BC上动点（不与点B、C重合），点E在直线DC上，且∠APE=α．记∠PAB=∠1，∠EPC=∠2，BP=x，CE=y．
（1）当点P在线段BC上时，写出并证明∠1与∠2的数量关系；
（2）随着点P的运动，（1）中得到的关于∠1与∠2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围；
（3）若，试用x的代数式表示y．

Answer

（1）∠APC是△ABP的外角，根据外角等于不相邻的两个内角之和易得∠1=∠2；
（2）当BP＞5时，∠1与∠2的数量关系显然会改变．根据三角形内角和定理得新的关系；
（3）分两种情形分别求解．①当点P在线段BC上时，根据△ABP∽△PCE得关系求解；②当点P在线段BC的延长线上时，根据△EPC∽△EGP得关系求解．
（1）∠1=∠2
证明：∵∠APC=∠ABC+∠1，又∠APC=∠APE+∠2，
∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2，
∵∠ABC=α=∠APE，∴∠1=∠2
（2）会改变，当点P在BC延长线上时，即x＞5时
∠1与∠2的数量关系不同于（1）的数量关系．
【解析】
∵∠APE=α=∠ABC，∴∠APB=α-∠2，-------------------（1分）
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，∴α+∠1+α-∠2=180°，----（1分）
∴∠1-∠2=180°-2α．-------------------------------------------------（1分）

（3）①当点P在线段BC上时，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，-------------------------------------------------------（1分）
∴，------------------------------------------------------------（1分）
即，∴．------------------------------------（2分）
②当点P在线段BC的延长线上时，
可得△EPC∽△EGP，∴EP2=EC•EG--------------------------（1分）
作AM∥CD．
∵AB=3，cosα=，
∴BM=2．
∴
作EK⊥BP，由得，∴
∴，
于是
即
亦即-----------------------------------------------（2分）