Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是正三角形．动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
（1）求证：△BMP∽△CPQ；
（2）设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer

（1）根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形相似即可；
（2）由△BMP∽△CQP，可得到BP与CQ的关系，从而转化成y与x的函数关系式；
（3）先利用二次函数求最值，求出y取最小值时x的值和y的最小值，从而确定P、Q的位置，判断出△PQC的形状．
证明：（1）在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，
∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．
∴△BMP∽△CQP；
（2）【解析】
∵△BMP∽△CQP，
∴，
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y，
∴，
∴y=x2-x+4；
（3）△PQC为直角三角形，
理由是：
∵y=（x-2）2+3，
∴当y取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC而∠MPQ=60°．
∴∠CPQ=30°．
∴∠PQC=90°．
∴△PQC为直角三角形．