Question

如图，已知线段a及∠O．
（1）只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在△ABC中作BC的中垂线分别交AB、BC于点E、F，如果∠B=30°，求△ABC面积被中垂线分成的两部分之比．

Answer

（1）先作一个角等于已知角，即∠CBA=∠O，截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠ACB=2∠O，△ABC即为所求；
（2）由∠B=30°，可得∠ACB=60°，根据三角函数可求得AB的长，则△ABC∽△FBE，从而得出=，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案即可．
【解析】
（1）作三角形图---------------------------（4分）；
（分【解析】
作已知角、2倍角、取BC=a、完成三角形各1分）

（2）作BC中垂线，连接EC，
∵∠B=30°，∠ACB=2∠B=60°，
∴∠BAC=90°，
∵∠BFE=90°，
∴△ABC∽△FBE，
∵BC=a，
∴AB=a，
∴==，
∴S△BEF：S△ABC=1：3，
∴△FEC≌△AEC，
所以△BEF与四边形AEFC的面积之比为1：2．