Question

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；
（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．

Answer

（1）根据切线的性质得出∠OMN=90，从而证得∠OMD=∠MNC；则△ODM∽△MCN；
（2）由DM=x，设OA=OM=R；则得出OD，由勾股定理得R与x的关系；
（3）可分为两种解法得出答案．由△ODM∽△MCN，得，用含x的式子表示出CN，MN，从而得出△CMN的周长是一个定值．
（1）证明：∵MN切⊙O于点M，
∴∠OMN=90°；（1分）
∵∠OMD+∠CMN=∠OMN=90°，
∴∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；
∴∠OMD=∠MNC；（2分）
又∵∠D=∠C=90°；
∴△ODM∽△MCN；（3分）

（2）【解析】
在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R；
∴OD=AD-OA=8-R，（4分）
由勾股定理得：（8-R）2+x2=R2，（5分）
∴64-16R+R2+x2=R2，
∴；（6分）

（3）解法一：∵CM=CD-DM=8-x，
又∵
且有△ODM∽△MCN，
∴，
∴代入得到；（7分）
同理，
∴代入得到；（9分）
∴△CMN的周长为P==（8-x）+（x+8）=16．（11分）
在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（12分）
解法二：在Rt△ODM中，，
设△ODM的周长P′=；（7分）
而△MCN∽△ODM，且相似比；（9分）
∵，
∴△MCN的周长为P=．（11分）
在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（12分）