Question

如图1，菱形ABOC的对角线OA、BC交于点D，∠BOC=60°，，E为AC边中点，BE与OA交于点F，点P从点O（包含顶点O）开始沿OA方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，点Q从点C（包含顶点C）出发沿CB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当P到达点A时，P，Q同时停止运动，设运动时间为x秒．
（1）若记以P、B、E、Q为顶点的四边形面积为S，分别求出点P在线段OD（不含点D）和在线段AF（不含点F）上时，S关于x的函数关系式，并写出相应的自变量x的取值范围．
（2）若以P、B、E、Q为顶点的四边形是梯形，求x的值．
（3）如图2，若点M、N分别在菱形的边OC、AC上，且∠MBN=60°，∠MBN在∠OBA内部绕着点B旋转的过程中，请你探究OM+AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由．

Answer

（1）根据运动时间为x秒，以及P点运动速度，即可得出x的取值范围，再利用P点位置的不同，求出S与x的函数关系式；
（2）根据当PQ∥BE时，以及当EQ∥BP时，当PE∥BQ时，分别利用相似三角形的性质求出即可；
（3）由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，△BOC和△ABC是等边三角形，进而求出△OBM≌△CBN，得出答案即可．
【解析】
（1）当点P在OD上时，如图1，x的取值范围为：，
过点E作EH⊥BC，则，，
由，∠BOC=60°，
四边形OBAC是菱形得AC=BC=2，OD=，∠ACD=60°，
在Rt△ECH中，sin∠ECH=，
∴，
∴EH=，
从而有：
 =，
当点P在AF上时，如图2，x的取值范围为，过点E作EH⊥BC，过点E作EG⊥AD，
则S=S△ABC-S△QEC-S△EPA-S△BPA，
在Rt△EAG中，sin∠EAG=，
∴sin30°=，从而有EG=，
∴，
=，
综上，；

（2）能成为梯形，分三种情况：
当PQ∥BE时，如图3，∵菱形ABOC的对角线OA、BC交于点D，∠BOC=60°，
∴△OBC与△ABC都是等边三角形，
∵E为AC边中点，
∴BE平分∠ABC，
∴∠DBE=30°，
∵PQ∥BE，
∴∠PQD=∠DBE=30°，
∴，
即，
∴，
此时PB不平行QE，∴时，四边形PBEQ为梯形．
当PE∥BQ时，如图4，P为DA中点，∴OP=，
即，
∴，
此时，BQ=，
∴时，四边形PEQB为梯形．
当EQ∥BP时，如图5，△QEH∽△BPD，
∴，
∴，
∴x=1或x=0，
此时，BQ不平行于PE，∴x=1或x=0时，四边形PEQB为梯形．
综上所述，当或或1或0时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形．

（3）OM+AN的值不会发生变化，理由如下：连接BC，
如图6，由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，
△BOC和△ABC是等边三角形，
∴BC=BO，∠OBC=60°，∠BOM=∠BCN=60°，
又∵∠MBN=60°，∴∠OBM=∠CBN，
∴△OBM≌△CBN，
∴OM=CN
∴OM+AN=CN+AN=AC=2．