Question

南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润=销售价-进货价）
（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？

Answer

（1）依题意易得y与x的函数关系式；
（2）依题意可得z=-8x2+24x+32=-8（x-）2+50．故x=时有最大值．
【解析】
（1）由题意得：
y=29-25-x，（2分）
∴y=-x+4（0≤x≤4）；（3分）

（2）z=（8+×4）y （5分）
=（8x+8）（-x+4）（6分）
∴z=-8x2+24x+32
=-8（x-）2+50 （8分）

（3）由第二问的关系式可知：当x=时，z最大=50 （9分）
∴当定价为29-1.5=27.5万元时，有最大利润，最大利润为50万元（10分）
或：当（8分）
z最大值=（9分）
∴当定价为29-1.5=27.5万元时，有最大利润，最大利润为50万元（10分）．