Question

先阅读并完成第（1）题，再利用其结论解决第（2）题．
（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-，x₁•x₂=．这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x₁+x₂和 x₁•x₂的值，进而求出相关的代数式的值．
请你证明这个定理．
（2）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的两个根记作a_n，b_n（n≥2），
请求出+…的值．

Answer

（1）首先利用求根公式x=求得该方程的两个实数根，然后再来求得x1+x2=-，x1•x2=；
（2）由根与系数的关系得an+bn=n+2，an•bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则=-（-），然后代入即可求解．
【解析】
（1）根据求根公式x=知，
x1=，x2=，
故有x1+x2=+=-，x1•x2=×=；

（2）∵根与系数的关系知，an+bn=n+2，an•bn=-2n2，
∴（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
∴=-（-），
∴+…
=-[（-）+（-）+…+（-）]
=-×（-）
=-．