Question

△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．
（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；
（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；
（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer

（1）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再用S△APM=AM•PM得出y与t的函数关系式，
（2）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值，
（3）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值．
【解析】
（1）当点P在AC上时，∵AM=t，∴PM=AM•tan60°=t．
∴y=t•t=t2（0≤t≤1）．
当点P在BC上时，PM=BM•tan30°=（4-t）．
y=t•（4-t）=-t2+t（1≤t≤3）．

（2）∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t．
∴QN=BN•tan30°=（3-t）．
由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即t=（3-t），
∴t=．∴当t=s时，四边形MNQP为矩形．

（3）由（2）知，当t=s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时=tan30°=．
∵=cos60°=，
∴AP=2AM=2t．
∴CP=2-2t．
∵=cos30°=，
∴BQ=（3-t）．
又∵BC=2，
∴CQ=2．
∴，．
∴当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．