Question

如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（-5，a）两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由．

Answer

（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；
（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．
【解析】
（1）∵双曲线过A（3，），
∴k=20．
把B（-5，a）代入，得
a=-4．
∴点B的坐标是（-5，-4）．（2分）
设直线AB的解析式为y=mx+n，
将A（3，）、B（-5，-4）代入，得
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：；（4分）

（2）四边形CBED是菱形．理由如下：（5分）
点D的坐标是（3，0），点C的坐标是（-2，0）．
∵BE∥x轴，
∴点E的坐标是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四边形CBED是平行四边形．（6分）
在Rt△OED中，ED2=OE2+OD2，
∴ED====5，
∴ED=CD．
∴平行四边形CBED是菱形．（8分）