Question

两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．
（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；
（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D₁E₁C，点F、G、H的对应点分别为F₁、G₁、H₁，如图③．探究线段D₁F₁与AH₁之间的数量关系，并写出推理过程；
（3）在（2）的条件下，若D₁E₁与CE交于点I，求证：G₁I=CI．

Answer

（1）观察图形，根据全等三角形的判定定理，即可得与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH；
（2）利用SAS即可判定△AF1C≌△D1H1C，则可得对应线段相等，即可求得D1F1=AH1；
（3）首先连接CG1，利用AAS即可证得△D1G1F1≌△AG1H1．然后可证得△CG1F1≌△CG1H1．又由平行线的性质即可求得答案．
【解析】
（1）图②中与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH．

（2）D1F1=AH1，
证明：∵在△AF1C与△D1H1C中，
，
∴△AF1C≌△D1H1C．
∴F1C=H1C，又CD1=CA，
∴CD1-F1C=CA-H1C．
即D1F1=AH1；

（3）连接CG1．
在△D1G1F1和△AG1H1中，
∵，
∴△D1G1F1≌△AG1H1．
∴G1F1=G1H1，
又∵H1C=F1C，G1C=G1C，
∴△CG1F1≌△CG1H1．
∴∠1=∠2．
∵∠B=60°，∠BCF=30°，
∴∠BFC=90°．
又∵∠DCE=90°，
∴∠BFC=∠DCE，
∴BA∥CE，
∴∠1=∠G1CE，
∴∠2=∠G1CE，
∴G1I=CI．