Question

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）易得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；进而可得比例关系式，再根据其中的相等关系可得BF=FD，即点F是BD中点；
（2）连接CB、OC，根据角的关系易得∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，进而可得∠OCF=90°，故可得CG是⊙O的切线；
（3）根据切割线定理可得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2，解之即可的答案．
（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；（1分）
∴．
∵HE=EC，
∴BF=FD，即点F是BD中点．

（2）证明：连接CB、OC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=90°，
又∵OC为圆O半径，
∴CG是⊙O的切线．（6分）

（3）【解析】
∵FC=FB=FE，
∴∠FCE=∠FEC．（7分）
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．（8分）
∵（2+FG）2=BG×AG=2BG2①
∵BG2=FG2-BF2②
由①、②得：FG2-4FG-12=0
∴FG1=6，FG2=-2（舍去）
∴AB=BG=．
∴⊙O半径为2．（10分）