Question

如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．
（1）当点O′与点A重合时，求点P的坐标．
（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是多少？

Answer

（1）当点O´与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用轴对称的现在解答即可；
（2）求出∠MP′O=30°，得到OM=t，OO′=t，过O′作O′N⊥X轴于N，∠OO′N=30°，求出O′的坐标，根据对称性点P在直线O′B′上，然后利用待定系数法求出直线O′B′的函数解析式，再求出反比例函数的解析式y=，代入上式整理得出方程关于x的一元二次方程，求出方程的判别式b2-4ac≥0，求出不等式的解集即可．
【解析】
（1）当点O´与点A重合时，
∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．
AP′=OP′，
∴△AOP′是等边三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴点P的坐标是（4，0），

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，
∴∠MP′O=30°，
∴OM=t，OO′=t，
过O′作O′N⊥X轴于N，
∠OO′N=30°，
∴ON=t，NO′=t，
∴O′（t，t），
根据对称性可知点P在直线O′B′上，
设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得，
解得：，
∴y=-x+t①，
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2，
∴A（2，2）），代入反比例函数的解析式得：k=4，
∴y=②，
①②联立得，x2-tx+4=0，
即x2-tx+4=0③，
b2-4ac=t2-4×1×4≥0，
解得：t≥4，t≤-4．
又O′B′=2，根据对称性得B′点横坐标是1+t，
当点B′为直线与双曲线的交点时，
由③得，（x-t）2-+4=0，
代入，得（1+t-t）2-+4=0，
解得t=±2，
而当线段O′B′与双曲线有交点时，
t≤2或t≥-2，
综上所述，t的取值范围是4≤t≤2或-2≤t≤-4．