Question

课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．
若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米²，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．
若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小；
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

Answer

（1）①已知正方形的周长，可求出其边长，即AC+BC的长，即可表示出BC的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得出y，x的函数关系式，根据函数的性质即可求出y的最大值．
②本题已知了AB+BC+CD=正方形的边长，可设AB为x，那么CD也为x，BC可用正方形的边长求得．过B、C作AD的垂线，通过构建的直角三角形，用x表示出BE和AE的长，即可求出上底AD的长，然后根据梯形的面积公式即可求得y，x的函数关系式，根据函数的性质即可求得函数的最大值；
（2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大，据此可列出不同的方案．
【解析】

（1）①y=，
当x=60时，y最大值=1800；
②过点B作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
设AB=CD=xcm，梯形的面积为Scm2，则BC=EF=（120-2x）cm，
AE=DF=x，BE=CF=x，AD=120-x，
∴S=•x（240-3x）
当x=40，S最大值=1200，
S最大值＞y最大值；

（2）方案：①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等．