Question

如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1．
（1）填空：b=______，c=______，点B的坐标为（______，______）：
（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；
（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标，代入解析式求出b、c即可；
（2）求出C（2，4）求得E的坐标为（3.5，2）和直线BC的表达式为，设直线EF的表达式为y=kx+b，根据EF为BC的中垂线求出和推出直线EF的表达式为，令y=0，得即可求出答案；
（3）作∠OBC的平分线交DC于点P，设P（2，a），根据抛物线解析式求出顶点C的坐标与点B的坐标，然后利用∠BCD的正弦列式即可求解．
【解析】
（1）∵抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1，
∴A（-1，0），B（5，0），
代入解析式得：，
解得：b=，c=，
故答案为：，，5，0．

（2）由（1）求得，
∴C（2，4）
∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2），
直线BC的表达式为y=-x+，
整理得4x+3y-20=0
设直线EF的表达式为y=kx+b（k≠0），
∵EF为BC的中垂线，
∴EF⊥BC，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积是-1，
∴，
把E（3.5，2）代入求得，
∴直线EF的表达式为，
在中，令y=0，得，
∴F（，0），
∴FC=FB=，
答：FC的长是．
（3）存在．
作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件，
设P（2，a），则P到x轴的距离为等于P到直线BC的距离，都是|a|，
∵抛物线解析式是y=-（x-2）2+4，
∴点C的坐标是（2，4），
又∵点B的坐标是（5，0），
∴CD=4，DB=5-2=3，
∴BC===5，
∵⊙P与x轴、直线BC都相切，
∴∠CEP=∠CDB=90°，
∴∠PCE+∠CPE=90°，∠CBA+∠CPE=90°，
∴∠CPE=∠CBA，
∴sin∠BCD==，
解得：a=，
当P在x轴的下方时，同法得出=，
解得：a=-6，
∴点P的坐标是P（2，-6）或P（2，）．
答：在抛物线的对称轴上存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切，点P的坐标是（2，-6），（2，）．