Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA；
（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）由矩形的性质推出∠BAD=∠D=∠ABC=90°，即得∠D=∠ABF，再由AF⊥AE得出∠EAF=∠BAD=90°，然后由∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，得出∠DAE=∠BAF，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，得△DAE∽△BAF，再由三角形相似的性质得到y关于x的函数解析式y=，从而得出x的取值范围．
（2）由AB∥CD，得出==1．即得FG=EG，再由∠EAF=90°，得AG=FG，∠FAG=∠AFG，∴∠AFE=∠DAE，再由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA．
（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形，此时可以推断出三种情况，一一推断即可．
【解析】
（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=3．
即得∠D=∠ABF．
∵AF⊥AE，∴∠EAF=∠BAD=90°．
又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAF．
于是，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
得△DAE∽△BAF．（1分）
∴=．
由DE=x，BF=y，得=，即得y=x．（2分）
∴y关于x的函数解析式是y=x，0＜x＜4．（3分）

（2）∵AD=BF，AD=BC，∴BF=BC．
在矩形ABCD中，AB∥CD，∴==1．即得FG=EG．
于是，由∠EAF=90°，得AG=FG．∴∠FAG=∠AFG．
∴∠AFE=∠DAE．（4分）
于是，由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA．（5分）

（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形．
此时，①当AG=EG时，DE=；（6分）
②当AE=GE时，DE=；（7分）
③当AG=AE时，DE=（8分）