Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数y=kx的图象与双曲线交于点A，且点A的横坐标为．
（1）求k的值．
（2）将直线y=kx向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交x轴、y轴于点B、C，如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．

Answer

（1）要求k值，只要知道点A的坐标就可以，而题目告诉了点A的横坐标，将其代入双曲线的解析式就可以求出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数的解析式就可以求出k值．
（2）直线y=kx向上平移4个单位得到直线BC，∴直线BC的解析式为y=kx+4，由（1）知道OC=OB=4．∵以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．∴OB=BD=DP=PO，∠OBD=∠DPO，这样根据线段的长度就可以求出D点的坐标，根据D点的坐标就可以求出P点的坐标．
【解析】
（1）∵点A的横坐标为，由题意得：
y=
∴y=
A（）
∴
∴k=-1
∴直线BC的解析式：y=-x+4

（2）∵直线BC的解析式：y=-x+4
∴OB=OD=4
∴∠OBC=45°
∵四边形OBDP是菱形
∴OB=BD=DP=PO
∴BD1=4，由勾股定理可以求出D1（4-2，2）
∴P1（-2，2）
同理得P2（2，-2），P3（4，4），D2（4+2，-2），
D3（0，4），D4（2，2），P4（2，-2）
综上所述P点的坐标是P1（-2，2），P2（2，-2），
P3（4，4）P4（2，-2）
D1（4-2，2），D2（4+2，-2），D3（0，4），D4（2，2），