Question

如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：
①四边形BDEF是菱形；②四边形DFOE的面积=三角形AOF的面积
其中正确的结论（ ）

A．①是真命题②是假命题
B．①是假命题②是真命题
C．①是真命题②是真命题
D．①是假命题②是假命题

Answer

首先根据折叠的性质得到BF=EF，BD=ED，再结合等腰直角三角形的性质、三角形的内角和及外角的性质得出∠BFD=∠BDF，由等边对等角得出BD=BF，然后根据四边相等的四边形是菱形可判断①正确；连接CF，先根据等底同高的两个三角形面积相等得出S△AOF=S△COF，再由同底等高的两个三角形面积相等得出S△EFD=S△EFC，从而得到S四边形DFOE=S△COF，进而可判断②正确．
【解析】
①∵把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，
∴BF=EF，BD=ED．
∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD为△ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
∴∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，
∴BF=EF=BD=ED，
∴四边形BDEF是菱形，故①正确；
②连接CF．
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S△AOF=S△COF，
∵四边形BDEF是菱形，
∴EF∥CD，
∴S△EFD=S△EFC，
∴S四边形DFOE=S△COF，
∴S四边形DFOE=S△AOF，故②正确．
故选C．