Question

如图，已知⊙O₁、⊙O₂交于点A、B，O₁A、O₁B的延长线分别与⊙O₂交于点C、D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若⊙O₁的半径为5，O₁O₂=10，sin∠AO₁O₂=，求CD的长．

Answer

（1）连接AB，过点O2作O2E⊥AC、O2F⊥BD，垂足分别为点E、F，要证明AC=BD，只需证明它们的弦心距相等，结合已知条件，只需根据相交两圆的性质，可以得到相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，再根据角平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即可证明；
（2）设AB与连心线的交点是F，在直角三角形AO1F中和直角三角形O1O2E中，根据锐角三角函数sin∠AO1O2=，和⊙O1的半径为5，O1O2=10可以求得AF，O2E，O1E的长，进一步求得AB的长和AC的长，根据O1A=O1B，AC=BD，得到AB∥CD，再进一步写出要求的线段和已知的线段之间的比例式进行求解．
【解析】
（1）证明：连接AB，过点O2作O2E⊥AC、O2F⊥BD，垂足分别为点E、F，
∵O1O2是连心线，AB是公共弦，
∴O1O2垂直平分AB．
又O1A=O1B，
∴O1O2平分∠AO1B．
∴O2E=O2F．
∴AC=BD．

（2）连接CD，
∵O1O2=10，，
∴O2E=6，O1E=8．
又∵⊙O1的半径为5，
∴AE=3，从而AC=6．
又可得AB=6．
∵O1A=O1B，AC=BD，
∴AB∥CD．
∴△ABO1∽△CDO1，
∴，
∴，
∴．