Question

如图，在直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A作CA⊥AB，CA=，并且作CD⊥x轴．
（1）求证：△ADC∽△BOA；
（2）若抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点．
①求抛物线的解析式；
②该抛物线的顶点为P，M是坐标轴上的一个点，若直线PM与y轴的夹角为30°，请直接写出点M的坐标．

Answer

（1）根据互余关系易得∠C=∠BAO，又有∠CDO=∠AOB=90°，易得△ADC∽△BOA；
（2）①由题意得，A、B的坐标，结合（1）的结论，得到AD、CD的长，进而可得抛物线的解析式；
②根据P的坐标及三角函数的意义，易得点M的坐标．
【解析】
（1）∵CD⊥AB
∴∠BAC=90°
∴∠BAO+∠CAD=90°
∵CD⊥x轴
∴∠CDA=90°
∴∠C+∠CAD=90°
∴∠C=∠BAO
又∵∠CDO=∠AOB=90°
∴△ADC∽△BOA；

（2）①由题意得，A（-8，0），B（0，4）
∴OA=8，OB=4，AB=
∵△ADC∽△BOA，CA=
∴AD=2，CD=4
∴C（-10，4）
将B（0，4），C（-10，4）代入y=-x2+bx+c
∴．
∴y=-x2-10x+4
②M1（0，），M2（0，），M3（，0），M4（，0）．