Question

已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF，连接EF，G为EF的中点．
求证：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分AC．

Answer

（1）利用三角形的全等，证明△CEB≌△CFD，即可解决；
（2）连接AG，CG，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出AG=GE=GF，再证明∠ECF=90°，即可得出CG=GE=GF，结论得证．
（1）证明：
∵BE=DF，
BC=CD，
∠EBC=∠CDF，
∴△CEB≌△CFD，
∴CE=CF；

（2）证明
连接AG，CG
在Rt△EAF中，
∵G是斜边EF的中点，
∴AG=GE=GF，
又∵△EBC≌△FDC
∴∠ECB=∠FCD，∠BCD=90°，
∴∠ECF=90°，
∴同理：CG=GE=GF，即GC=GA，
∴G点在AC的垂直平分线上，
又∵DA=DC，
∴D点也在AC的垂直平分线上，
∴DG垂直平分AC．