Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

根据相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1=∠B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律，问题也就迎刃而解了．

【解析】
设正方形的面积分别为S1，S2…S2010，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．
∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=，
cot∠DAO==，
∵tan∠BAA1==cot∠DAO，
∴BA1=AB=，
∴CA1=+=×，
同理，得：C1A2=××，
由正方形的面积公式，得：S1=，
S2=×，S3=××，
由此，可得Sn=×（1+）2n-2，
∴S2010=5×（）2×2010-2，
=5×（）4018．
故选D