Question

（1）如图1，P，Q，R是△ABC三边上的点，且，求的值．
在中学数学中，由2个数学系统中所含元素的属性在某些方面相同或相似，推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式被称为类比推理，运用类比推理的模式解决数学问题的方法称为类比法．类比既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一．
（2）请结合第一小题，完成下面小题的解答．如图2，E，F，G，H分别在四边形ABCD的四边上，且，求的值．

Answer

（1）首先根据已知条件知AP=AB，BQ=BC，CR=AC，BP=AB，CQ=BC，AR=AC；然后利用三角形的面积公式S=absinC求得△ABC中除去△PQR的三个小三角形的面积与△ABC的面积间的数量关系；最后由S△PQR=S△ABC-S△APR-S△BPQ-S△CQR=S△ABC可以推知的值；
（2）连接BD、AC．解答过程同（1）．
【解析】
（1）∵P，Q，R是△ABC三边上的点，且，
∴AP=AB，BQ=BC，CR=AC，
∴BP=AB，CQ=BC，AR=AC，
∴S△APR=AP•ARsinA=×AB•AC•sinA=×AB•ACsinA=S△ABC；
S△BPQ=BQ•BPsinB=×BC•AB•sinB=×BC•ABsinB=S△ABC；
S△CQR=CR•CQsinC=×AC•BC•sinC=×AC•BCsinC=S△ABC；
∴S△PQR=S△ABC-S△APR-S△BPQ-S△CQR=S△ABC，
∴=；

（2）连接BD、AC．
∵如图2，E，F，G，H分别在四边形ABCD的四边上，且，
∴AE=AB，AH=AD，CF=BC，CG=CD，
∴S△AHE=AE•AHsin∠HAE=×AB×ADsin∠HAE=×AB•ADsin∠HAE=S△ABD，
S△CFG=CF•CGsin∠DCB=×CD×BCsin∠DCB=×CD•BCsin∠DCB=S△CDB，
∴S△AHE+S△CFG=（S△ABD+S△CDB）=S四边形ABCD；
同理，S△DGH+S△BEF=（S△ADC+S△ABC）=S四边形ABCD；
∴S四边形EFGH=S四边形ABCD-S△AHE-S△CFG-S△AHE-S△CFG=S四边形EFGH，
∴=．