Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；
（3）在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；  
（4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？

Answer

（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），把C的坐标代入即可求出a的值，再化成顶点式即可；
（2）求出C的坐标，过C作CG∥x轴交BF于G，根据C的坐标求出G坐标；当是（4，4）两三角形全等即相似，当是（8，8）时符合相似三角形的判定，即两三角形相似综合上述有3个点．
（3）设直线CD的解析式是y=kx+b，代入坐标后求出解析式，设P（2，t），根据距离相等列出方程求出即可；
（4）抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m，把x=4或-8代入即可列出不等式，即可求出答案．
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），
把C（0，8）代入得a=-1，
∴y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，顶点D（1，9），
答：抛物线的解析式是：y=-x2+2x+8，顶点D的坐标是（1，9）．

（2）G（4，8）或（8，8）或（4，4）．

（3）假设满足条件的点P存在，依题意设P（2，t），
设直线CD的解析式是y=kx+b，
把C（0，8），D（1，9）代入得：，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y=x+8，
它与x轴的夹角为45°，
设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）．
则PH=|10-t|，点P到CD的距离为．
又．∴．
平方并整理得：t2+20t-92=0，，
∴存在满足条件的点P，P的坐标为，
∴存在，点P的坐标是（2，-10+8），（2，-10-8），

（4）【解析】
直线CD的解析式为：y=x+8，
当y=0时，x=-8，
当x=4时，y=12，
∴E（-8，0），F（4，12）．
抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m（m＞0）．
当x=-8时，y=-72+m，
当x=4时，y=m，
∴-72+m≤0或m≤12，
∴0＜m≤72．
∴向上最多可平移72个单位长，
答：抛物线向上最多可平移72个单位长度．