Question

如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（ ）
①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH²=HE•HB．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EJ⊥BD于J，连接EF，由全等三角形的判定定理可得△DJE≌△ECF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论；
②根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论；
③根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出结论；
④由相似三角形的判定定理得出△DHG∽△BDH，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解析】
作EJ⊥BD于J，连接EF
①∵BE平分∠DBC
∴EC=EJ，
∴△DJE≌△ECF
∴DE=FE
∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°
∴∠HFE==22.5°
∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°
∵DH=HF，OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF
∴OH=BF
②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正确；
③∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=BC，GH=CF，
∵CE=CF，
∴GH=CF=CE
∵CE＜CG=BC，
∴GH＜BC，故此结论不成立；
④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，
∴∠DBH=22.5°，
由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，
∴∠DBH=∠CDF，
∵∠BHD=∠BHD，
∴△DHE∽△BHD，
∴=
∴DH=HE•HB，故④成立；
所以①②④正确．
故选C．