Question

已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．
（1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；
（2）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请根据图③说明理由．
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，DM与DN的比值是否发生改变？如果不改变，请直接写出比值；如果改变，请说明理由．

Answer

（1）由题意可证得：∠A=∠ADM=30°，∠BDC=∠B=60°，然后根据等角对等边的性质，可得MA=MD，CB=CD，又由三线合一，即可证得答案；
（2）首先证得△AGM∽△NHB与Rt△MGD∽Rt△DHN，根据相似三角形的对应边成比例，易得①与②，然后利用比例的性质，即可证得AG=DH；
（3）由Rt△MGD∽Rt△DHN与AG=DH，易得==tan∠A，继而求得答案．
（1）证明：由题意可得：∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD，
又∵MG⊥AD于点G，
∴AG=DG，
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD，
∴C与N重叠，
又∵NH⊥DB于点H，
∴DH=BH，
∵AD=DB，
∴AG=DH；

（2）【解析】
当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立．
如图③，在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
又∵∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB，
∴，…①
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
又∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴，…②
①×②，得  ，
由比例的性质，得 ，
即 ，
∵AD=DB，
∴AG=DH；

（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，值没有改变，
∵Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴=，
∵AG=DH，
∴==tan∠A=tan30°=，
∴．