Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+2的图象与y轴交于点A，对称轴是直线x=，以OA为边在y轴右侧作等边三角形OAB，点B恰好在该抛物线上． 动点P在x轴上，以PA为边作等边三角形APQ（△APQ的顶点 A、P、Q按逆时针标记）．
（1）求点B的坐标与抛物线的解析式；
（2）当点P在如图位置时，求证：△APO≌△AQB；
（3）当点P在x轴上运动时，点Q刚好在抛物线上，求点Q的坐标；
（4）探究：是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据函数解析式c=2，可得出OA=OB=AB=2，过点B作BE⊥x轴与点E，根据OB=2，∠AOB=60°，可求出BE、OE的长度，继而得出点B的坐标，根据函数的对称轴为x=，再将点B的坐标代入可得出函数解析式．
（2）根据等边三角形的性质可得出AB=AO、AP=AQ，∠PAO=∠QAB，利用SAS可证得结论．
（3）需要分两种情况，①点Q在第三象限的抛物线上，②点Q在第一象限的抛物线上，分别求解即可．
（4）①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，AB∥OQ；②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方此时，AQ∥OB，依次求解点P的坐标即可．
【解析】
（1）过点B作BE⊥x轴与点E，

∵二次函数解析式c=2，
∴OA=OB=AB=2，
又∠BOE=90°-∠AOB=30°，
∴BE=1，OE=，
∴点B的坐标为（，1）．
将点B坐标代入可得：3a+b+2=1①，
对称轴=-=②
联立①②可得a=-1．b=，
故可得函数解析式为：y=-x2+x+2．

（2）由题意得，AB=AO、AP=AQ，
又∵∠PAQ+∠QOA=∠BAO+∠QAO，
∴∠PAO=∠QAB，
故可得：△APO≌△AQB（SAS）．

（3）①当Q在第三象限的抛物线上，设BQ与y轴交点为F，

由（2）可得∠ABQ=90°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠QBO=30°，
∴AFB=∠AOB-∠QBO=30°，
∴AF=2AB=4，OF=2，即F（0，-2）
把F（0，-2），B（，1）代入y=kx+b得k=，b=-2，
∴直线BQ解析式为：y=x-2，
解方程组：，
解得：，（舍去）
故可得点Q的坐标为（-，-6）；
②当Q与B重合时，Q的坐标为（，1）
∴满足条件的点Q坐标为：（，-6）、（，1）．

（4）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，

设点P的坐标为x，
∵∠OBQ1=30°（第三问已做说明），OB=2，
∴OQ1=1，
∴点Q的坐标为（，-），
∴AQ1==AP=，
解得：x=-或（舍去）；
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，

∵∠APO=30°，AO=2，
∴OP=2，即点P的坐标为（2，0）．
综上可得P的坐标为（-，0）或（2，0）