Question

如图，已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC=45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．
（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；
（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．

Answer

（1）根据△HFG≌△KFE，△IFG≌△JFE和HI∥BC可证HG=KE以及GI=JE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形
，即可证明；
（2）AF取最小值时，F无限接近AE中点，取最大值时，F无限接近E点，即F在以AE的中点与E两点之间的线段上移动，且线段GI=JE不会大于BE．因而可求得AF的长的取值范围．
【解析】
（1）四边形HIJK是平行四边形．理由如下：
∵HI∥BC，AE是BC边上的高，
∴∠HGF=∠KEF，
又∵FG=FE，∠HFG=∠KFE，
∴△HFG≌△KFE，
∴HG=KE．
同理可证GI=JE，
∴HI=JK，
∴四边形HIKJ是平行四边形；

（2）设线段AF长的取值为x．
∵四边形HIKJ是平行四边形，
∴FG=EF，
∴AG=2x-5，
在△AGI与△AEC中，
∵HI∥BC
∴△AGI∽△AEC
∴，
，
GI=
由图可知0＜GI≤BE，
即0＜≤5，
解得2.5＜x≤4．
故2.5＜AF≤4．