Question

在平面直角坐标系XOY中，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l₁相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；
（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE=k2-k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；
（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；
②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，=，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．
【解析】
（1）若点E与点P重合，则k=1×2=2；

（2）当k＞2时，如图1，
点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，
∵PF⊥PE，
∴S△FPE=PE•PF=（-1）（k-2）=k2-k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S△PFE=S△GEF，
∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE=•k--（k2-k+1）-=k2-1
∵S△OEF=2S△PEF，
∴k2-1=2（k2-k+1），
解得k=6或k=2，
∵k=2时，E、F重合，
∴k=6，
∴E点坐标为：（3，2）；

（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，
①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，
∵△FHM∽△MBE，
∴=，
∵FH=1，EM=PE=1-，FM=PF=2-k，
∴=，BM=，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（1-）2=（）2+（）2，
解得k=，此时E点坐标为（，2），

②当k＞2时，如图3，
只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，=，
∵FQ=1，EM=PF=k-2，FM=PE=-1，
∴=，BM=2，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（k-2）2=（）2+22，解得k=或0，但k=0不符合题意，
∴k=．
此时E点坐标为（，2），
∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．