Question

如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3．
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随变化的函数关系式．
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP．请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由切线的性质知∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD=4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y=kx+3即可知p变化的函数关系式；
（2）连接DN．∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND=90°，∴根据图示易证∠AND=∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN=∠AMN，再由等量代换可知∠ABD=∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA证明△AMN∽△ABP；
（3）存在．把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3，然后由勾股定理求得AB=5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比．分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2-4k-2=0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2+1=-（4k+3），解关于k的一元二次方程．
【解析】
（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，
∴OA⊥AD，BD⊥AD；
又∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，
∴四边形OADB是矩形；
∵⊙C的半径为2，
∴AD=OB=4；
∵点P在直线l上，
∴点P的坐标为（4，p）；
又∵点P也在直线AP上，
∴p=4k+3；

（2）连接DN．
∵AD是⊙C的直径，
∴∠AND=90°，
∵∠ADN=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN，
∴∠ADN=∠ABD，
又∵∠ADN=∠AMN，
∴∠ABD=∠AMN（4分）
∵∠MAN=∠BAP（5分）
∴△AMN∽△ABP（6分）

（3）存在．（7分）
理由：把x=0代入y=kx+3得：y=3，即OA=BD=3，
AB=，
∵S△ABD=AB•DN=AD•DB
∴DN==，
∴AN2=AD2-DN2=，
∵△AMN∽△ABP，
∴，即（8分）
当点P在B点上方时，
∵AP2=AD2+PD2=AD2+（PB-BD）2=42+（4k+3-3）2=16（k2+1），
或AP2=AD2+PD2=AD2+（BD-PB）2=42+（3-4k-3）2=16（k2+1），
S△ABP=PB•AD=（4k+3）×4=2（4k+3），
∴，
整理得：k2-4k-2=0，
解得k1=2+，k2=2-（9分）
当点P在B点下方时，
∵AP2=AD2+PD2=42+（3-4k-3）2=16（k2+1），S△ABP=PB•AD=[-（4k+3）]×4=-2（4k+3）
∴
化简得：k2+1=-（4k+3），解得：k=-2，
综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于（10分）