Question

如图，面积为8的矩形ABOC的边OB、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A在双曲线的图象上，且AC=2．
（1）求k值；
（2）将矩形ABOC以B旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FBDE，双曲线交DE于M点，交EF于N点，求△MEN的面积．
（3）在双曲线上是否存在一点P，使得直线PN与直线BC平行？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据面积为8的矩形ABOC，AC=2，可以求出AB，即可得出A点的坐标，即可求出解析式；
（2）由矩形ABOC以B为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形BDEF，得出点N、E纵坐标为2，点M、E横坐标为6，从而求出
E，N的坐标，即可得出△MEN的面积；
（3）首先求出直线BC解析式，再根据直线PN与直线BC平行，得出一次项系数相等，再将N点坐标代入即可求出．
【解析】
（1）∵矩形ABOC的面积为8，且AC=2，
∴AB=4，
∵点A在第一象限
∴A（2，4），
∵顶点A在双曲线的图象上，
将A点代入双曲线函数中，得：即k=8；

（2）∵矩形ABOC以B为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形BDEF，
∴点N、E纵坐标为2，点M、E横坐标为6，
∴将y=2代入中，得x=4，
将x=6代入中，则，
∴M（6，），E（6，2），N（4，2），
∴EM=，EN=2，
∴．

（3）设直线BC的表达式为y=mx+b（m≠0），
∵B（2，0）、C（0，4）
∴得
∴直线BC的表达式为y=-2x+4，
若直线PN∥BC，则可设直线PN为y=-2x+a
把N（4，2）代入，得a=10
∴直线PN为y=-2x+10，
由
得
∴P点的坐标为（1，8）．