Question

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为　  　．

Answer

（0，12）或（0，﹣12）

【解析】

试题分析：设线段BA的中点为E，

∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）。

（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，

则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=。

以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，

∵∠BCA为⊙P的圆周角，

∴∠BCA=∠BPA=45°，则点C即为所求。

过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，

在Rt△PFC中，PF=1，PC=，

由勾股定理得：，

∴OC=OF+CF=5+7=12。

∴点C坐标为（0，12）。

（2）如答图2所示，根据圆满的对称性质，可得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）。

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）。