Question

如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

（1）的值为　  　；

（2）求证：AE=EP；

（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D。

∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC。

在Rt△ABE中，AB=3，BE=1，∴。

∴，

（2）证明：在BA边上截取BG=BE，连接GE，

∵∠B=90°，BG=BE，∴∠BGE=45°。∴∠AGE=135°。

∵CP平分外角，∴∠DCP=45°。∴∠ECP=135°。

∴∠AGE=∠ECP。

∵AB=CB，BG=BE，

∴AB﹣BG=BC﹣BE，即：AG=CE。

又∠GAE=∠CEP，

∵在△AGE和△ECP中，∠AGE=∠ECP，AG=CE，∠GAE=∠CEP，

∴△AGE≌△ECP（ASA）。

∴AE=EP。

（3）存在。证明如下：

如图，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EP，

连接ME、DP，

∵在△ADM与△BAE中，

AD=BA，∠ADM=∠BAE，∠DAM=∠ABE，

∴△ADM≌△BAE（AAS）。∴MD=AE。

∵由（2）AE=EP，∴MD=EP。∴MDEP。

∴四边形DMEP为平行四边形。

【解析】

试题分析：（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答：

（2）在BA边上截取BG=BE，连接GE，根据角角之间的关系得到∠AGE=∠ECP，由AB=CB，BG=BE，得AG=EC，结合∠GAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出。

（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出。