Question

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长．

Answer

【解析】
（1）证明：如图，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2。

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，

∴∠ADE=∠DAE。∴ED=EA。

∵ED为⊙O直径，∴∠DFE=90°。

∴EF⊥AD。∴点F是AD的中点。

（2）连接DM，

∵EF：FD=4：3，∴设EF=4k，FD=3k。

∴在Rt△DEF中，根据勾股定理理，得ED=5k。

∴AE= ED=5k，AD=2 FD=6k。

∵AD•EF=AE•DM，∴。

在Rt△DEM中，根据勾股定理理，得，

∴。

（3）∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA。

∴AE：BE=CE：AE，即AE2=CE•BE。∴由（2）设定得，（5k）2=k•（10+5k）。

∵k＞0，∴k=2。

∴CD=k=5。

【解析】

试题分析：（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由等腰三角形三线合一的性质，即可判定点F是AD的中点。

（2）连接DM，设EF=4k，DF=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案。

（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k•（10+5k），解此方程即可求得答案。