Question

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰∠ADC=∠B。

（1）求证：直线CD是⊙O的的切线；

（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求线段AE的长。

Answer

【解析】
（1）证明：连接OD，

 ∵OB=OD，∴∠ODB=∠B。

又∵∠ADC=∠B，∴∠ODB=∠ADC。

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=900。

∴∠ODC=∠ADC ＋∠ADO= ∠ODB＋∠ADO= ∠ADB=900。

又 ∵OD是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的的切线。

BC=OC﹣OB=30﹣20=10（千米）。

（2）在Rt△ABD中，∵AB=，BD=2，∴根据勾股定理得AD=1。

∵AE⊥AB，∴∠EAB=900。∴∠EAB=∠ADB =900。

又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△EBA。∴，即。∴。

【解析】（1）连接OD，只要证明∠ODC=∠ADC ＋∠ADO= ∠ODB＋∠ADO= ∠ADB=900即可。

（2）根据勾股定理求得AD=1，则由△ABD∽△EBA可列比例式求解。