Question

阅读下列材料：

如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M、N分别在边AB、BC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b，若，则有结论：。

请根据以上结论，解答下列问题：

如图2，3，BE、CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP₁、PP₂、PP₃，交BC于点P₁，交AB于点P₂，交AC于点P₃。

（1）若点P为线段EF的中点，求证：PP₁=PP₂＋PP₃；

（2）若点P在线段EF上任意位置时，试探究PP₁、PP₂、PP₃的数量关系，给出证明。

Answer

【解析】
（1）证明：如图，过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，

∵BE是∠ABC的角平分线，∴ED1= ED2。

∵点P为线段EF的中点，且PP2⊥AB，

∴PP2∥ED2。∴。∴，即。

同理，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，得。

在梯形EFG1D1中，∵公式中，m=n，

∴（梯形中位线定理）。

∴。

（2）。证明如下：

如图，过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，

设，则梯形EFG1D1满足公式，

∴。

公式中，当b=0时，原梯形变为三角形，

∴。

∴。

∴，。

将②③代入①，得。

【解析】（1）过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在△FED2和△FEG2中应用三角形中位线定理，可得，。在梯形EFG1D1中，由公式可证得结论。

（2）同（1）过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在△FED2、△FEG2和梯形EFG1D1中，由公式可求得结论。