Question

如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且。

（1）求抛物线C的解析式；

（2）将抛物线C绕原点O旋转180⁰得到抛物线，抛物线与x轴的另一交点为A，B为抛物线上横坐标为2的点。

①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；

②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线O－B－A于E₁、F₁，再分别以线段EE₁、FF₁为边作如图2所示的等边△AE₁E₂、等边△AF₁F2，点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当△AE₁E₂有一边与△AF₁F₂的某一边在同一直线上时，求时间t的值。

Answer

【解析】
（1）∵抛物线的对称轴为，∴ON=3。

∵，∴NM=9。∴M（－3，－9）。

∴设抛物线C的解析式为。

∵抛物线C经过原点，∴，即。

∴抛物线C的解析式为，即。

（2）①∵抛物线由抛物线C绕原点O旋转1800得到，

∴抛物线与抛物线C关于原点O对称。∴抛物线的顶点坐标为（3，9）。

∴抛物线的解析式为，即。

∵令y=0，得x=0或x=6，∴A（6，0）。

又∵B为抛物线上横坐标为2的点，∴令x=2，得y=8。∴B（2，8）。

设直线AB的解析式为y=kx+b，

则，解得：。

∴直线AB的解析式为。

∵P为线段AB上一动点，∴设P。

∴。

APD面积的最大值为9。

②如图，分别过E2、F2作x轴的垂线，垂足分别为G、H，

易求直线OB：，由①直线AB：。

当时，E1在OB上，F1在AB上，

OE=t，EE1=4t，EG=，OG=，GE2=2t；

OF=，FF1=2t，HF=，OH=，HF2= t。

∴E（t，0），E1（t，4t），E2（，2t），F（6－t，0），F1（，2t），F2（，t）。

i）若EE1与FF1在同一直线上，由t=6－t，t=3，不符合；

ii）若EE2与F1F2在同一直线上，易求得EE2：，将F1（，2t）代入，得，解得；

iii）若E1E2与FF2在同一直线上，易求得E1E2：，将F（，0）代入，得。

当时，E1、F1都在AB上，

OE=t，EE1=，EG=，OG=，GE2=；

OF=，FF1=2t，HF=，OH=，HF2= t。

∴E（t，0），E1（t，），E2（，），F（，0），F1（，2t），F2（，t）。

i）若EE1与FF1在同一直线上，由t=6－t，t=3；

ii）若EE2与F1F2在同一直线上，易求得EE2：，将F1（，2t）代入，得，解得，不符合；

iii）E1E2与FF2已在时在同一直线上，故当时E1E2与FF2不可能在同一直线上。

当时，由上面讨论的结果，△AE1E2的一边与△AF1F2的某一边不可能在同一直线上。

综上所述，当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时，或或t=3。

【解析】（1）根据求出顶点M的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可。

 （2）①求出△APD面积关于点P横坐标的函数关系式，应用二次函数的最值原理求解。

②分，和三种情况讨论，每种情况又分EE1与FF1在同一直线上，EE2与F1F2在同一直线和E1E2与FF2在同一直线上三种情况讨论。