Question

如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．

（1）求证：BC平分∠PDB；

（2）求证：BC²=AB•BD；

（3）若PA=6，PC=6，求BD的长．

Answer

【解析】
（1）证明：连接OC，

∵PD为圆O的切线，∴OC⊥PD。

∵BD⊥PD，∴OC∥BD。∴∠OCB=∠CBD。

∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。

∴∠CBD=∠OBC，即BC平分∠PBD。

（2）证明：连接AC，

∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°。

∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。

∴，即BC2=AB•BD。

（3）∵PC为圆O的切线，PAB为割线，∴PC2=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12。

∴AB=PB－PA=12－6=6。∴OC=3，PO=PA+AO=9。

∵△OCP∽△BDP，∴，即。

∴BD=4。

【解析】（1）连接OC，由PD为圆O的切线，由切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证。

（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及（1）的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证。

（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长。