Question

如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．

（1）求△ABC的面积；

（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；

（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

Answer

【解析】
（1）如图1，作AH⊥BC于H，则∠AHB=90°。

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3。

∵∠AHB=90°，∴BH=BC=。

在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH=。

∴。

（2）如图2，当0＜x≤时，。

作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°。

∴DG=x，AG=。

∴。

如图3，当＜x＜3时，作MG⊥DE于G，

∵AD=x，∴BD=DM=3－x，

∴DG=，MF=MN=2x－3，MG=

∴。

综上所述，y关于x的函数解析式为。

 （3）当0＜x≤时，

∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

∴x=时，。

当＜x＜3时，，

∵a=＜0，开口向下，∴x=2时，

∵＞，∴y最大时，x=2。

∴DE=2，BD=DM=1。

如图4，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，

∴DO=OE=1。∴DM=DO。

∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形。

∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1。

∴MO=OE，∠MOE=120°。

∴∠OME=30°。∴∠DME=90°。

∴DE是直径。

∴。

【解析】（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值。

（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式。

（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值。