Question

已知二次函数（a＞0）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，x₁，x₂是方程的两根．

（1）若抛物线的顶点为D，求S_△ABC：S_△ACD的值；

（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

Answer

【解析】
（1）解方程，得x=－5或x=1，

∵x1＜x2，∴x1=﹣5，x2=1。∴A（﹣5，0），B（1，0）。

∴抛物线的解析式为：（a＞0）。

∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（－2，－9a）。

令x=0，得y=－5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）。

依题意画出图形，如图所示，

则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a。

过点D作DE⊥y轴于点E，

则DE=2，OE=9a，CE=OE－OC=4a。

∴

 。

而，

∴。

（2）如图所示，

在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，

设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2。

∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，

由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，

即，化简得：。

∵a＞0，∴。

∴抛物线的解析式为：，即。

【解析】（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论。

（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式。