Question

（2013年四川南充8分）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）.

（1）求M，N两村之间的距离；

（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P站的距离之和最短，求这个最短距离。

Answer

【解析】
（1）如图，过点M作CD∥AB，NE⊥AB。

在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5，

∴。∴CM＝3，AC＝4。

在Rt△ANE中， ∠NAE=90°－53.5°=36.5°，AN=10，

∴。∴NE＝6，AE＝8。

在Rt△MND中，MD＝5，ND＝2，

∴(km) 。

（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点。

∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG。

在Rt△MDG中， (km) ，

∴最短距离为 km 。

【解析】（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，继而得出MD，ND的长度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度，

（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点，求出MG的长度即可。

考点：解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，勾股定理，轴对称的应用（最短路线问题）。