Question

如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

Answer

【解析】
（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=900。

       ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC。

∴∠BAC=∠ADC=90°。∴BA⊥AC。

又∵AB是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线。

（2）∵△ADC∽△BAC（已证），∴。

∵BD=5，CD=4，∴BC=9。∴，解得：AC=6。

∴在Rt△ACD中，，

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，

∴CA=CF=6。∴DF=CA－CD=2。

∴在Rt△AFD中，。

【解析】（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=900，从而可判断AC是⊙O的切线。

（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，从而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长。