Question

如图，抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y₂，两条抛物线相交于点C．

（1）请直接写出抛物线y₂的解析式；

（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；

（3）在第四象限内抛物线y₂上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）抛物线向右平移4个单位的顶点坐标为（4，－1），

∴抛物线y2的解析式为。

（2）当x=0时，y1=﹣1，y1=0时，=0，解得x=1或x=－1，

       ∴点A（1，0），B（0，－1）。∴∠OBA=450。

联立，解得。

∴点C的坐标为（2，3）。

∵∠CPA=∠OBA，

∴点P在点A的左边时，坐标为（－1，0）；在点A的右边时，坐标为（5，0）。

∴点P的坐标为（－1，0）或（5，0）。

（3）存在。

∵点C（2，3），∴直线OC的解析式为，

设与OC平行的直线，

联立，消掉y得，，

当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，

此时，由一元二次方程根与系数的关系，得，

∴此时，。

∴存在第四象限的点Q（，），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，

此时，解得。

∴过点Q与OC平行的直线解析式为。

令y=0，则，解得。

设直线与x轴的交点为E，则E（，0）。

过点C作CD⊥x轴于D，

根据勾股定理，，

则由面积公式，得，即。

∴存在第四象限的点Q（，），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，最大值为。

【解析】（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可。

（2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解。

（3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据面积公式求解即可得到h的值。