Question

（2013年四川广安10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．

①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

Answer

【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，解得。

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3。

（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3。∴△AOB是等腰直角三角形。∴∠BAO=45°。

∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°。

又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形。∴PD越大，△PDE的周长越大。

易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，

当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，

此时x=，y=+=，

∴点P（，）时，△PDE的周长最大。

②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线，

（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，

∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°。

∴∠APF=∠QPM。

∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS）。∴PF=PQ。

设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n）。

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0。

解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，

∴点P的坐标为（，）。

（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN。

又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ。

∴PF=AQ。

设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），

则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，

解得x=（不合题意，舍去）或x=。

∴点P坐标为（，2）。

综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（，2）。

【解析】（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可。

（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标。

②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标。

考点：二次函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分类思想的应用。