Question

如图，直线与双曲线交于C、D两点，与x轴交于点A.

（1）求n的取值范围和点A的坐标；

（2）过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S _△ABC＝4，求双曲线的解析式；

（3）在（1）、（2）的条件下，若AB＝，求点C和点D的坐标并根据图象直接写出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取值范围．

Answer

【解析】
（1）由图象得：n+1＜0，解得：n＜－1。

由y=kx+k，令y=0，解得：，∴A坐标为（－1，0）。

（2）设C（a，b），

 ∵，∴ab=－8。

∵点C在双曲线上，∴双曲线的解析式为。

（3）∵CB⊥y轴，∴B（0，b）。

在Rt△AOB中，AB=，OA=1，根据勾股定理得：OB=4。

∴B（0，－4）。∴C（2，－4）。

将C代入直线y=kx+k中，得：2k+k=-4，即。

∴直线AC解析式为。

联立直线与反比例解析式得：，解得：或。

∴D（－3，）。

则由图象可得：当x＜－3或0＜x＜2时，反比例函数的值小于一次函数的值。

【解析】

试题分析：（1）由反比例函数图象位于第二、四象限，得到比例系数小于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，对于直线解析式，令y=0求出x的值，确定出A的坐标即可。

（2）设C（a，b），表示出三角形ABC的面积，根据已知的面积列出关于a与b的关系式，利用反比例函数k的几何意义即可求出k的值，确定出反比例解析式。

（3）由CB垂直于y轴，得到B，C纵坐标相同，即B（0，b），在直角三角形AOB中，由AB与OA的长，利用勾股定理求出OB的长，确定出B坐标，进而确定出C坐标，将C代入直线解析式求出k的值，确定出一次函数解析式，与反比例解析式联立求出D的坐标，由C，D两点的横坐标，利用图象即可求出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取值范围。