Question

如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为(0，6)，将△BCD沿BD折叠(D点在OC边上），使C点落在DA边的E点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．

（1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；

（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B,H, D三点，求抛物线解析式；

（3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B, D点），过点P作PN⊥BC，分别交BC 和 BD于点N, M，是否存在这样的点P，使如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）由翻折可知：△BCD≌△BED，∴∠CBD=∠DBE。

又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE=∠ABE。

又∵四边形OCBA为矩形，∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°。

在Rt△DOE中，∠ODE=60°，∴DE=CD=2OD。

∵OC=OD+CD=6，∴OD+2OD=6，∴OD=2，D（0，2）。∴CD=4。

在Rt△CDB中，BC=CD•tan60°=4，∴B（4，6）。

设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意得：，解得。

∴直线BD的解析式为：。

（2）在Rt△FGE中，∠FEG=60°，FE=AE．

由（1）易得：OE=2，∴FE=AE=2。

∴FG=3，GE=。∴OG=。

∵H是FG的中点，∴H（，）。

∵抛物线经过B、H、D三点，

∴，解得。

∴抛物线解析式为。

（3）存在。

∵P在抛物线上，∴设P（x，），M（x，），N（x，6）。

∵S△BNM=S△BPM，∴PM=MN．即：。

整理得：，解得：x=2或x=4。

当x=2时，；

当x=4时，，与点B重合，不符合题意，舍去。

∴P（2，2）。

∴存在点P，使S△BNM=S△BPM，点P的坐标为（2，2）。

【解析】

试题分析：（1）首先由折叠性质得到∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°，然后解直角三角形得到点D、点B的坐标，最后用待定系数法求出直线BD的解析式；

（2）点B、D坐标已经求出，关键是求出点H的坐标．在Rt△FGE中，解直角三角形求出点H的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式。

（3）由S△BNM=S△BPM，且这两个三角形等高，所以得到PM=MN．由此结论，列出方程求出点P的坐标。