Question

如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

（1）求证：AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；

（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；

（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer

【解析】
（1）证明：如图，∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。

∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°。∴∠1=∠E。

∵在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A=∠C=90°，AD=BC，

∴△ABD≌△CEB（AAS）。∴AB=CE。

∴AC=AB+BC=AD+CE。

（2）（i）如图，连接DQ，

∵∠DPQ=∠DBQ=90°,

∴D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上。

∴∠DQP=∠DBP。

∴Rt△DPQ∽Rt△DAB。∴。

∵DA=3，AB=EC=5，∴。

（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为。

【解析】（1）根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证。

（2）（i）如图，连接DQ，由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上，从而可得Rt△DPQ∽Rt△DAB，因此。

（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN。

当点P运动至AC中点时，AP=4，

∴在Rt△ADP中，根据勾股定理得：DP=5。

由得。

∴在Rt△DPQ中，根据勾股定理得：。

又在Rt△ADP中，根据勾股定理得：。

∵MN是△BDQ的中位线，

∴。

∴在Rt△DMN中，根据勾股定理得：。

∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为。